ESTADO NO ESTACIONARIO CON GRADIENTES (COORDENADAS CILÍNDRICAS)

ESTADO NO ESTACIONARIO con GRADIENTES (Coordenadas CILÍNDRICAS)

Para resolver problemas más generales de transferencia de calor, cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional, es necesario resolver la ecuación general del calor que se escribe de la siguiente manera:

Donde:

El cociente entre la conductividad térmica y la capacidad térmica, se lo denomina difusividad térmica (α)

α = k/ρC_p        ρ es la densidad y Cp la capacidad calorífica.

Mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad para almacenar energía.

Materiales con α grande, responderán rápidamente a cambios en su medio térmico, mientras que materiales con α pequeños tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.

Para llegar a un caso particular de dicha ecuación es necesario fijar la geometría y las condiciones a la frontera que describen al fenómeno.

En este caso escibiendo el laplaciano para una geometría cilíndrica se obtiene:

Separando las variables da como resultado una ecuación para cada coordenada.

Y una para la coordenada temperal cuya solución es:

Si solo se tiene conducción a lo largo de r, se tendrá una sola ecuación conocida como la ecuación de Bessel

La cual tiene una singularidad en el origen y un número infinito de soluciones.

Nota:

Las funciones de Bessel son como las funciones de Fourier (Sen_n t y Cos_n t) que permiten escribir una función solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales con condiciones a la frontera como suma de ellas. Aparecen en problemas de simetría cilíndrica.

Los números n o β_m que los etiquetan se llaman Eigenvalores.

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre de valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.

Al construir la solución completa da como resultado:

Transporte de energia en estado no estacionario con gradientes (coordenadas cartesianas)

Los fenómenos de transporte son aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia en este caso el de energía o Estos fenómenos físicos tienen ciertos factores comunes que pueden ser descritos mediante la ecuación para la propagación unidimensional.

Esto nos permite tener lo perfiles de temperatura los cuales cambien con respecto al tiempo

La ecuación que describe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, en este caso el campo Ψ es la temperatura T, y el coeficiente α=K/(ρc), donde K, es la conductividad térmica, ρ la densidad, y c es el calor específico del material. La conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos

La ecuación de difusión describe la conducción de calor en estado no estacionario, cuando no hay fuentes internas de generación de calor esta dada por:

Esta es la parte que nos interesa debido a que teniendo las condiciones de frontera Esta ecuación representa una gran familia de fenómenos. Para aplicarla a la solución de un caso particular es necesario fijar la, Geometría (Rectangular,  cilíndrica, esfera)

En una dimensión:

O de manera adimensinal:

Tenemos diferente métodos de aplicación y resolución de este estado las aplicadas son

-Separación de variables (unas pocas geometrías simples)

-Diferencias finitas y elemento finito

-De libros como Geankoplis

- graficar soluciones obtenidas analíticamente en excel

Solución de placa 2H

Condición Inicial

T = T0   en   t = 0   y   x = x

Condiciones a la frontera.

T = T1   en   t = t    y   x = 0

Condiciones a la frontera.

 T = T1   en   t = t    y   x = 2H

Se propone una solución de la forma:

Se realiza la derivada temporal:

Se realiza la derivada espacial:

Se sustituye dentro de la ecuación de difusión

Se divide entre T(x,t) = X(x) Ʈ(t)

Como ambas ecuaciones dependen de variables diferentes, deben ser -ambas- iguales a una constante

Lo que lleva al sistema de ecuaciones

Por este método de separación de variables encontramos

La solución particular es

Una ecuación en derivadas parciales de 2do orden se transformó en un sistema de dos ecuaciones ordinarias existiendo un número infinito de valores de λ para los que se cumplen las condiciones de frontera.

Cada uno de esos valores se llama valor propio (Eigen valor) y se denota λ_m

Conducción de calor en estado no estacionario sin gradientes.

Ecuaciones de balance para un flujo en movimiento (Partícula y medio continuo)

     Las ecuaciones proviene de balances de energía en estado estacionario.

     Generalizan a un caso medio continuo con las ecuaciones de conservación de masa, energía y       movimiento.

     Medio continuo una idealización.

Física de la partícula	Medio continuo
Conservación de la masa	Ecuación de continuidad
Conservación de la energía	Ecuación de difusión
Conservación de momento	Ecuación de Navier - Stokes

Euler vs Lagrange 

    Uno de los objetivos mas importantes de esta clase era comprender el enfoque de Euler y             Lagrange en la descripción del movimiento de un fluido.

  

    Lagrange propone “perseguir “ a las partículas.

   

 Euler propone fijar una región en el espacio.

Enlace de video

 El enfoque de Lagrange consiste en identificar una pequeña masa de fluido en un flujo, denominada partícula fluida, y describir el movimiento todo el tiempo. La trayectoria de una partícula de fluido esta dada por el vector r(t), y se expresa en coordenadas cartesianas.
                                                        r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

La velocidad del fluido se puedo obtener de la derivada de la ecuación anterior:

       

El enfoque de Euler  para describir el movimiento del fluido es imaginar un arreglo de “ventanas” en el campo de flujo y tener la información de la velocidad de las partículas de fluido que pasan por cada ventana en cualquier instante.

Este es el enfoque de Euler, en este caso, la velocidad es una funci´on de la posici´on de la ventana (x, y, y z) y el tiempo, de manera que:

          u = f1(x, y, z,t)                          ν = f2(x, y, z,t)                                  ω = f3(x, y, z,t)

Ecuación de balance de energía.

La imagen nos explica el significado de cada termino de la primera ecuación de la termodinámica.

Ecuación de balance

La siguiente imagen nos explica cada termino en la ecuación