ESTADO NO ESTACIONARIO con GRADIENTES (Coordenadas CILÍNDRICAS)
Para resolver problemas más generales de transferencia de
calor, cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es
unidireccional, es necesario resolver la ecuación general del calor que se
escribe de la siguiente manera:
Donde:
El cociente entre la conductividad térmica y la
capacidad térmica, se lo denomina difusividad térmica (α)
α = k/ρCp ρ es la densidad y Cp la capacidad
calorífica.
Mide la capacidad de un material para conducir energía
térmica en relación con su capacidad para almacenar energía.
Materiales con α grande, responderán rápidamente a cambios
en su medio térmico, mientras que materiales con α pequeños tardan más en
alcanzar una nueva condición de equilibrio.
Para llegar a un caso particular de dicha ecuación es
necesario fijar la geometría y las condiciones a la frontera que describen al
fenómeno.
En este caso escibiendo el laplaciano para una
geometría cilíndrica se obtiene:
Separando
las variables da como resultado una ecuación para cada coordenada.
Y
una para la coordenada temperal cuya solución es:
Si
solo se tiene conducción a lo largo de r, se tendrá una sola ecuación conocida
como la ecuación de Bessel
La cual tiene una singularidad en el origen y un número
infinito de soluciones.
Nota:
Las funciones de Bessel son como las funciones de Fourier
(Senn t y Cosn t) que permiten escribir una función
solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales con condiciones a
la frontera como suma de ellas. Aparecen en problemas de simetría cilíndrica.
Los números n o βm
que los etiquetan se llaman Eigenvalores.
En álgebra lineal,
los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son
los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar
a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este
escalar recibe el nombre de valor propio, autovalor, valor característico o
eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por
sus vectores propios y valores propios.
Al construir la
solución completa da como resultado:
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