Transporte de energia en estado no estacionario con gradientes (coordenadas cartesianas)

Los fenómenos de transporte son aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia en este caso el de energía o Estos fenómenos físicos tienen ciertos factores comunes que pueden ser descritos mediante la ecuación para la propagación unidimensional.

Esto nos permite tener lo perfiles de temperatura los cuales cambien con respecto al tiempo

La ecuación que describe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, en este caso el campo Ψ es la temperatura T, y el coeficiente α=K/(ρc), donde K, es la conductividad térmica, ρ la densidad, y c es el calor específico del material. La conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos

La ecuación de difusión describe la conducción de calor en estado no estacionario, cuando no hay fuentes internas de generación de calor esta dada por:

Esta es la parte que nos interesa debido a que teniendo las condiciones de frontera Esta ecuación representa una gran familia de fenómenos. Para aplicarla a la solución de un caso particular es necesario fijar la, Geometría (Rectangular,  cilíndrica, esfera)

En una dimensión:

O de manera adimensinal:

Tenemos diferente métodos de aplicación y resolución de este estado las aplicadas son

-Separación de variables (unas pocas geometrías simples)

-Diferencias finitas y elemento finito

-De libros como Geankoplis

- graficar soluciones obtenidas analíticamente en excel

Solución de placa 2H

Condición Inicial

T = T0   en   t = 0   y   x = x

Condiciones a la frontera.

T = T1   en   t = t    y   x = 0

Condiciones a la frontera.

 T = T1   en   t = t    y   x = 2H

Se propone una solución de la forma:

Se realiza la derivada temporal:

Se realiza la derivada espacial:

Se sustituye dentro de la ecuación de difusión

Se divide entre T(x,t) = X(x) Ʈ(t)

Como ambas ecuaciones dependen de variables diferentes, deben ser -ambas- iguales a una constante

Lo que lleva al sistema de ecuaciones

Por este método de separación de variables encontramos

La solución particular es

Una ecuación en derivadas parciales de 2do orden se transformó en un sistema de dos ecuaciones ordinarias existiendo un número infinito de valores de λ para los que se cumplen las condiciones de frontera.

Cada uno de esos valores se llama valor propio (Eigen valor) y se denota λ_m

Conducción de calor en estado no estacionario sin gradientes.

Ecuaciones de balance para un flujo en movimiento (Partícula y medio continuo)

     Las ecuaciones proviene de balances de energía en estado estacionario.

     Generalizan a un caso medio continuo con las ecuaciones de conservación de masa, energía y       movimiento.

     Medio continuo una idealización.

Física de la partícula	Medio continuo
Conservación de la masa	Ecuación de continuidad
Conservación de la energía	Ecuación de difusión
Conservación de momento	Ecuación de Navier - Stokes

Euler vs Lagrange 

    Uno de los objetivos mas importantes de esta clase era comprender el enfoque de Euler y             Lagrange en la descripción del movimiento de un fluido.

  

    Lagrange propone “perseguir “ a las partículas.

   

 Euler propone fijar una región en el espacio.

Enlace de video

 El enfoque de Lagrange consiste en identificar una pequeña masa de fluido en un flujo, denominada partícula fluida, y describir el movimiento todo el tiempo. La trayectoria de una partícula de fluido esta dada por el vector r(t), y se expresa en coordenadas cartesianas.
                                                        r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

La velocidad del fluido se puedo obtener de la derivada de la ecuación anterior:

       

El enfoque de Euler  para describir el movimiento del fluido es imaginar un arreglo de “ventanas” en el campo de flujo y tener la información de la velocidad de las partículas de fluido que pasan por cada ventana en cualquier instante.

Este es el enfoque de Euler, en este caso, la velocidad es una funci´on de la posici´on de la ventana (x, y, y z) y el tiempo, de manera que:

          u = f1(x, y, z,t)                          ν = f2(x, y, z,t)                                  ω = f3(x, y, z,t)

Ecuación de balance de energía.

La imagen nos explica el significado de cada termino de la primera ecuación de la termodinámica.

Ecuación de balance

La siguiente imagen nos explica cada termino en la ecuación  

CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO CON FUENTES INTERNAS

SISTEMAS CON FUENTE DE CALOR

Muchos problemas que se encuentran en transferencia de calor requieren un análisis que tome en cuenta la generación o absorción de calor dentro de un cuerpo dado. Tales tipos de problemas se encuentran en materiales a través de los cuales fluye corriente eléctrica, en reactores nucleares, en hornos de microondas, en la industria de procesamientos químicos, y en procesos de combustión.

Balance de energía con fuentes de calor:

{(velocidad de entrada de energía calorífica)}-{(velocidad de salida de energía calorífica)} + {(velocidad de producción de energía calorífica)} = 0 

EFECTO JOULE

El efecto Joule, es el desprendimiento de calor provocado por el movimiento de electrones también conocido como corriente eléctrica por un material.

Si por un conductor circula corriente eléctrica, parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido al choque que sufren los electrones con las moléculas del conductor por el que circulan elevando la temperatura del mismo.

Balance:

Se es la velocidad de generación de energía por unidad de volumen

Ecuación y condiciones de frontera:

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟=0     𝑞_𝑟   𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟=𝑅     𝑇=𝑇_0

Integrando:

Dado estas relaciónes

Se= Pot elec / Vol

Pot = I2R (I = I A)     R = 1/Ke L/A

Vol= A L

Obtenemos.

Para poder obtener un perfil de temperatura aplicamos la ley de Fourier

De donde podemos obtener:

LEY DE WIEDEMANN – FRANZ

Establece que el cociente de la conductividad calorífica y eléctrica es proporcional a la Temperatura absoluta:

K/Ke = L T

VISCOCIDAD.

Los líquidos a diferencia de los sólidos tienen la capacidad de poder fluir, es decir, si se pone en movimiento a un líquido, éste al moverse trata de permanecer todo junto, y es precisamente atribuido su virtud de ser viscosos. La Viscosidad es la resistencia que tienen las moléculas que conforman un líquido para separarse unas de otras, es decir, es la oposición de un fluido a deformarse y esta oposición es debida a las fuerzas de adherencia que tienen unas moléculas de un líquido o fluido con respecto a las otras moléculas del mismo líquido

Mediante el procedimiento anterior podemos obtener una expresión que represente su conducción.

Para el perfil de temperaturas con placas paralelas obtenemos:

REACCION QUIMICA.

Todas las reacciones químicas son:

Endotérmicas (∆𝑯_"reacc" <𝟎)

Exotérmicas (∆𝑯_"reacc" >𝟎)

Entonces, la energía química se transforma en energía térmica.

El perfil de temperaturas es una suma de exponenciales.

Las constantes de altura y crecimiento dependen de N y B. Que son funciones de los materiales, de las condiciones de flujo y de la geometría.

REACCION NUCLEAR.

Una reacción nuclear es un proceso de combinación y transformación de las partículas y núcleos atómicos. Una reacción nuclear se representa mediante una ecuación que muestra el proceso en el que intervienen núcleos atómicos.

Reacción de fisión

Es un tipo de reacción nuclear que se produce cuando un núcleo pesado se divide en dos o más núcleos ligeros. En estas reacciones se libera mucha energía.

Fusión nuclear

Es un tipo de reacción nuclear en la que núcleos ligeros se unen para producir un núcleo más pesado. Sería la una reacción inversa a la fisión nuclear:

Existen aplicaciones en donde es necesario aprender cómo es que sucede este fenómeno, en dado caso hay algunos ejemplos en la industria metalúrgica donde es importante el entendimiento de estos conceptos.

TRATAMIENTOS TERMICOS.

Todas las reacciones de transformación que intervienen son de carácter exotérmico ya que por cada cambio de fase hay energía involucrada.

En la gráfica podemos observar cambios de pendientes en donde a cada una está relacionada un cambio de temperatura y en algunos casos un cambio de transformación.